Capitolo 15 Esercizi

Questo libro non è finalizzato alla costruzione di una solida formazione teorica in biometria, ma è finalizzato a fornisre gli strumenti necessari per organizzare esperimenti validi ed analizzarne i dati in modo attendibile. Per questo motivo, vi proponiamo una lista di esercizi e di casi-studio, coi quali mettere in pratica e verificare la chiarezza dei concetti proposti. Gli esercizi sono orgnizzati in sezioni ed ognuna di esse corrisponde ad uno o più capitoli del libro; per alcuni di essi è necessario caricare dei datasets, che si trovano su repository esterne, che verranno via via indicate.

15.1 Il disegno degli esperimenti (Cap. 1 e 2)

15.1.1 Domanda 1

Quali sono le caratteristiche fondamentali di un esperimento scientifico, perché possa essere ritenuto valido?

15.1.2 Domanda 2

Illustrare brevemente il metodo scientifico ‘galileiano’.

15.1.3 Domanda 3

Illustrare brevemente la differenza tra errori casuali e sistematici. In presenza di quale dei due è possibile ottenere risultati scientifici validi?

15.1.4 Domanda 4

Qual è la differenza tra repliche vere e pseudo-repliche?

15.1.5 Domanda 5

Cosa è il confounding e come può rendere distorti i risultati di un esperimento scientifico?

15.1.6 Domanda 6

Quali sono gli elementi comuni a tutti gli esperimenti scientifici?

15.1.7 Domanda 7

Quali tipi di variabili conoscete e quali sono le loro caratteristiche?

15.1.8 Domanda 8

Qual è la differenza tra un esperimento fattoriale innestato ed uno incrociato

15.1.9 Domanda 9

Quali sono le caratteristiche principali degli esperimenti a randomizzazione completa, blocchi randomizzati e quadrato latino?

15.1.10 Domanda 10

Come è fatto e quando si utilizza uno schema sperimentale a split-plot?

15.1.11 Domanda 12

Cosa è l’effetto di bordo e come si può controllare?

15.1.12 Domanda 13

Illustrare e discutere le caratteristiche fondamentali delle ‘parcelle’ (forma, dimensioni, numero …)

15.1.13 Esercizio 1

Vi è stata affidata una prova sperimentale per la taratura agronomica di un nuovo diserbante appartenente al gruppo chimico delle solfoniluree (AGRISULFURON), utilizzabile alla dose presumibile di 20 g/ha, per il diserbo di post-emergenza del mais. Gli obiettivi della prova sono:

  1. Valutare se è opportuno un certo aggiustamento della dose (incremento/diminuzione)
  2. Valutare se è opportuna l’aggiunta di un bagnante non-ionico
  3. Valutare se è opportuno splittare la dose di 20 g/ha in due distribuzioni
  4. Valutare l’efficacia del nuovo diserbante con gli opportuni controlli (testimoni)

Coerentemente con questi obiettivi, scrivere un protocollo sperimentale sufficientemente dettagliato (una pagina) ed aggiungere la mappa di campo della prova

15.1.14 Esercizio 2

Dovete progettare una prova sperimentale per valutare i possibili effetti dell’epoca di semina (autunnale oppure primaverile) su sette varietà di favino (che etichetteremo con le lettere da A a G). Progettare un esperimento di pieno campo, decidendo il numero di repliche ed il lay-out sperimentale. Redigere la mappa di campo ed allocare i trattamenti, in base al lay-out prescelto. Aggiungere alla mappa di campo tutti i dettagli necessari (dimensioni delle parcelle, localizzazione ed orientamento dell’esperimento).

15.1.15 Esercizio 3

Illustrate il disegno sperimentale che adottereste per organizzare una prova sperimentale che metta a confronto quattro concimi azotati (urea, solfato ammonico, nitrato di calcio e nitrato di sodio) e un testimone non concimato su barbabietola da zucchero. Motivate opportunamente le vostre scelte.

15.1.16 Esercizio 4

Descrivete lo schema sperimentale che adottereste per organizzare un esperimento di confronto tra quattro dosi di un diserbate per il frumento, utilizzato con e senza un coadiuvante. Motivate opportunamente le vostre scelte.

15.1.17 Esercizio 5

Descrivete lo schema sperimentale che utilizzereste per organizzare una prova su pomodoro da industria, per la valutazione dell’effetto di tre livelli di concimazione azotata (0, 80 e 160 kg/ha) e tre tipologie di interventi irrigui (asciutto, basso volume irriguo, alto volume irriguo). Motivate opportunamente le vostre scelte.

15.2 Statistica descrittiva (Cap. 3)

15.2.1 Domanda 1

Illustrare e discutere i principali indici di tendenza centrale per le variabili quantitative

15.2.2 Domanda 2

Illustrare e discutere i principali indici di variabilità per le variabili quantitative

15.2.3 Domanda 3

Illustrare e discutere il coefficiente di correlazione di Pearson

15.2.4 Domanda 4

Quali statistiche descrittive possono essere utilizzate con le variabili categoriche e ordinali? Illustrare brevemente e discutere

15.2.5 Esercizio 1

Un’analisi chimica è stata eseguita in triplicato e i risultati sono stati i seguenti: 125, 169 and 142 ng/g. Calcolate la media e tutti gli indicatori di variabilità che conoscete. In che modo può essere espressa l’incertezza assoluta della misura?

15.2.6 Esercizio 2

Un ricercatore ha confrontato il rapporto tra maschi e femmine in una popolazione di insetti sottoposta a due trattamenti sperimentali diversi e si chiede se maschi e femmine manifestino una diversa sensibilità al trattamento in studio. Considerando la tabella sottostante, valutare il grado di dipendenza tra i due caratteri (sesso e sensibilità), in rapporto al valore minimo e massimo possibile per l’indicatore prescelto.

Male Female
A 275 175
B 326 297

15.2.7 Esercizio 3

Un ricercatore ha misurato l’altezza di quattro alberi ed il loro diametro (entrambi in metri). I risultati ottenuti sono i seguenti:

Altezza <- c(2.3, 2.7, 3.1, 3.5)
Diametro <- c(0.46, 0.51, 0.59, 0.64)

Calcolare il coefficiente di correlazione di Pearson e valutare l’entità della correlazione in base ai valori massimi e minimi ammissibili per questa statistica.

15.2.8 Esercizio 4

Considerate il file EXCEL ‘rimsulfuron.csv’, che potete trovare in questo percorso: https://www.casaonofri.it/_datasets/rimsulfuron.csv. In questo file sono riportati i risultati di un esperimento con 16 trattamenti e 4 repliche, nel quale sono stati posti a confronti diversi erbicidi e/o dosi per il diserbo nel mais. Calcolare le medie produttive ottenute con le diverse tesi sperimentali e riportarle su un grafico, includendo anche un’indicazione di variabilità. Verificare se la produzione è correlata con il ricoprimento (WeedCover) delle piante infestanti.

15.2.9 Esercizio 5

Caricare il datasets ‘students’ disponibile al link: ‘https://www.casaonofri.it/_datasets/students.csv’. In questo file potete trovare una database relativo alla valutazione degli studenti in alcune materie del primo anno di Agraria. Ogni record rappresenta un esame, con il relativo voto, la materia e la scuola di provenienza dello studente.

  1. Determinare la frequenza assoluta e relativa dei diversi voti (da 18 a 30). È possibile calcolare le frequenze cumulate?
  2. Con un uso appropriato delle tabelle di contingenza e del chi quadro, valutare se il voto dipende dalla materia e dalla scuola di provenienza dello studente.

15.3 Modelli statistici (Cap. 4)

15.3.1 Esercizio 1

Un ricercatore sta studiando una popolazione di insetti ed ha valutato che la loro lunghezza è distribuita normalmente, con \(\mu = 23 \, \textrm{mm}\) e \(\sigma = 1.6\). Calcolare la probabilità di estrarre individui con lunghezza:

  1. maggiore di 25
  2. minore di 21
  3. compresa tra 21 e 25

15.3.2 Esercizio 2

Una macchina confezionatrice riempe automaticamente delle confezioni di seme. Il peso dichiarato sulla confezione è 12.5 kg, ma la precisione della macchina è \(\pm\) 1 kg. Calcolare la probabilità che una confezione contenga:

  1. meno del peso dichiarato
  2. meno di 12 kg
  3. più di 13 Kg

In questa condizione, si vuole regolare la macchina in modo che non più del 5% dei sacchi contenga un peso inferiore a quello dichiarato. Su quale peso dovrebbe essere regolata la macchina di riempimento? (SUGGERIMENTO: se io regolo la macchina a 12.5 kg, la quantità effettivamente erogata è normalmente distribuita, con media 12.5 e deviazione standard 1. In questo caso, c’è un 5% di probabilità di erogare meno di _____ kg; di conseguenza, devo alzare la media di ____ kg per far si che la quantità erogata non sia inferiore a 12.5 kg, se non nel 5% dei casi)

15.3.3 Esercizio 3

Uno strumento di analisi ha un coefficiente di variabilità pari al 10%. Ammettendo di utilizzare quello strumento su una matrice la cui concentrazione è 10 ng/g, calcolare la probabilità di ottenere una misura: 1. inferiore a 9 ng/g 2. superiore a 11 ng/g 3. compresa tra 9 e 11 ng/g

15.3.4 Esercizio 4

Un erbicida si degrada nel terreno seguendo una cinetica del primo ordine:

\[Y = 100 \, e^{-0.07 \, t}\]

dove Y è la concentrazione al tempo t. Dopo aver spruzzato questo erbicida, che probabilità abbiamo di osservare, dopo 50 giorni, una concentrazione che risulti erroneamente al disotto della soglia di tossicità per i mammiferi (2 ng/g)? Tenere conto che lo strumento di misura produce un coefficiente di variabilità del 20%

15.3.5 Esercizio 5

Una sostanza xenobiotica si degrada nell’acqua a 20°C seguendo una cinetica del primo ordine:

\[Y = C_0 \, e^{-0.06 \, t}\]

dove Y è la concentrazione al tempo t. Simulare i risultati di un esperimento in cui, dopo la somministrazione di questa sostanza alla dose \(C_0 = 63\) ng/mL, facciamo dodici prelievi settimanali e misuriamo la concentrazione del residuo. Considerare che (1) l’errore sperimentale è gaussiano e omoscedastico sul logaritmo della concentrazione, con media 0 e deviazione standard pari a 0.25; (2) l’esperimento è a randomizzazione completa con tre repliche.

15.3.6 Esercizio 6

Una coltura produce in funzione della sua fittezza, secondo la seguente relazione:

\[ Y = 0.8 + 0.8 \, X - 0.07 \, X^2\]

Stabilire la fittezza necessaria per ottenere il massimo produttivo (graficamente o analiticamente). Valutare la probabilità di ottenere una produzione compresa tra 2.5 e 3 t/ha, seminando alla fittezza ottimale. Considerare che la variabilità stocastica è del 12%.

15.3.7 Esercizio 7

La tossicità di un insetticida varia con la dose, secondo la legge log-logistica:

\[ Y = \frac{1}{1 + exp\left\{ -2 \, \left[log(X) - log(15)\right] \right\}}\]

dove Y è la proporzione di animali morti e X è la dose. Se trattiamo 150 insetti con una dose pari a 35 g, qual è la probabilità di trovare più di 120 morti? Considerare che la risposta è variabile da individuo ad individuo nella popolazione e questa variabilità può essere approssimata utilizzando una distribuzione gaussiana con una deviazione standard pari a 0.10.

15.3.8 Esercizio 8

Simulare i risultati di un esperimento varietale, con sette varietà di frumento e quattro repliche. Considerare che il modello deterministico è un modello ANOVA, nel quale vengono definite le medie delle sette varietà (valori attesi). Decidere autonomamente sui parametri da impiegare per la simulazione (da \(\mu_1\) a \(\mu_7\) e \(\sigma\))

15.3.9 Esercizio 9

Considerando il testo dell’esercizio 6, simulare un esperimento in cui la coltura viene seminata a fittezze di 2, 4, 6, 8 piante per metro quadrato, con quattro repliche.

15.3.10 Esercizio 10

Considerando il testo dell’esercizio 7, simulare un esperimento in cui l’insetticida viene utilizzato a cinque dosi crescenti (a vostra scelta), con quattro repliche.

15.4 Stima dei parametri (Cap. 5)

15.4.1 Esercizio 1

In un campo di frumento sono state campionate trenta aree di saggio di un metro quadrato ciascuna, sulle quali è stata determinata la produzione. La media delle trenta aree è stata di 6.2 t/ha, con una varianza pari a 0.9. Stimare la produzione dell’intero appezzamento.

15.4.2 Esercizio 2

Siamo interessati a conoscere il contenuto medio di nitrati dei pozzi della media valle del Tevere. Per questo organizziamo un esperimento, durante il quale campioniamo 20 pozzi rappresentativi, riscontrando le seguenti concentrazioni:

38.3 38.6 38.1 39.9 36.3 41.6 37.0 39.8 39.1     
35.0 38.1 37.4 38.3 34.8 40.4 39.3 37.0 38.7    
38.2 38.4

Stimare la concentrazione media per l’intera valle del Tevere

15.4.3 Esercizio 3

E’stata impostata una prova sperimentale per confrontare due varietà di mais, con uno schema sperimentale a blocchi randomizzati con tre repliche. La prima varietà ha mostrato produzioni di 14, 12, 15 e 13 t/ha, mentre la seconda varietà ha mostrato produzioni pari a 12, 11, 10.5 e 13 t/ha. Stimare le produzioni medie delle due varietà, nell’ambiente di studio.

15.4.4 Esercizio 4

Un campione di 400 insetti a cui è stato somministrato un certo insetticida mostra che 136 di essi sono sopravvissuti. Determinare un intervallo di confidenza con grado di fiducia del 95% per la proporzione della popolazione insensibile al trattamento.

15.4.5 Esercizio 5

È stata studiata la risposta produttiva del sorgo alla concimazione azotata. I dati ottenuti sono:

Dose Yield
0 1.26
30 2.50
60 3.25
90 4.31
120 5.50

Assumendo che la relazione sia lineare (retta), stimare la pendenza e l’intercetta della popolazione di riferimento, dalla quale è stato estratto il campione in studio. Utilizzare la funzione lm(Yield ~ Dose) ed estrarre gli errori standard con il metodo summary().

15.4.6 Esercizio 6

Utilizzando una simulazione Monte Carlo opportunamente pianificata, mostrare che la varianza del campione (uguale alla devianza divisa per il numero di individui meno uno) fornisce una stima più accurata della varianza della popolazione, rispetto allo scarto quadratico medio (devianza divisa per il numero di soggetti) che è invece uno stimatore distorto. Suggerimento: ricordare che uno stimatore accurato ha una distribuzione campionaria (sampling distribution) il cui valore atteso coincide con il valore da stimare.

15.5 Test d’ipotesi (Cap. 6)

15.5.1 Esercizio 1

La nostra miglior stima puntuale del parametro di un modello statistico è \(\gamma = -7.2\), con un errore standard pari a 2.8, con 16 gradi di libertà. E’possibile che, in realtà, sia \(\gamma = 0\)? Qual è il P-level per l’ipotesi nulla? Devo accettarla o posso rifiutarla?

15.5.2 Esercizio 2

La nostra miglior stima puntuale del parametro di un modello statistico è \(\delta = 13.5\), con un errore standard pari a 8.4, ma non è disponibile, per questo errore standard, una stima accurata dei gradi di libertà. E’possibile che, in realtà, sia \(\delta = 0\)? Qual è il P-level per l’ipotesi nulla? Devo accettarla o posso rifiutarla?

15.5.3 Esercizio 3

Uno sperimentatore ha impostato un esperimento per confrontare due tesi sperimentali (A, B). I risultati sono i seguenti (in q/ha):

A B
9.3 12.6
10.2 12.3
9.7 12.5

Stabilire se i risultati per le due tesi sperimentali possono essere considerati significativamente diversi, per un livello di probabilità di errore di I specie del 5%.

15.5.4 Esercizio 4

Uno sperimentatore ha impostato un esperimento per confrontare se l’effetto di un fungicida è significativo, in un disegno sperimentale con tre ripetizioni. Con ognuna delle due opzioni di trattamento i risultati produttivi sono i seguenti (in t/ha):

A NT
6.5 54
7.1 48
6.8 63

E’significativo l’effetto del trattamento fungicida sulla produzione, per un livello di probabilità del 5%?. SUGGERIMENTO: prestare attenzione all’omogeneità delle varianze.

15.5.5 Esercizio 5

Con un esperimento in laboratorio, abbiamo stimato che il tasso di degradazione di una sostanza xenobiotica in acqua è \(\kappa_1 = -0.071 \pm 0.012\) (7 gradi di libertà). Per una sostanza affine il tasso di degradazione è pari a \(\kappa_2 = -0.153 \pm 0.024\) (anocora 7 gradi di lbertà); possiamo concludere che il tasso di degradazione delle due sostanze, in realtà, non è significativamente diverso?

15.5.6 Esercizio 6

In un ospedale, è stata misurata la concentrazione di colesterolo nel sangue di otto pazienti, prima e dopo un trattamento medico. Per ogni paziente, sono stati analizzati due campioni, ottenendo le seguenti concentrazioni:

Paziente Prima Dopo
1 167.3 166.7
2 186.7 184.2
3 107.0 104.9
4 214.5 205.3
5 149.5 148.5
6 171.5 157.3
7 161.5 149.4
8 243.6 241.5

Si può concludere che il trattamento medico è stato efficace?

15.5.7 Esercizio 7

Un veterinario ha organizzato un esperimento per valutare l’effetto di una dieta innovativa, sulla pressione arteriosa sistolica di cavalli da corsa. Le informazioni preliminari mostrano con chiarezza che questa dieta innovativa non può avere effetti negativi, ma, eventualmente, solo positivi. Il ricercatore ha selezionato a caso 16 animali, ne ha misurato la pressione arteriosa a riposo ed ha ripetuto la stessa misurazione dopo sei mesi di questa dieta. I risultati ottenuti sono i seguenti:

prima <- c(113.5, 116.5, 118.1, 111.3, 116.8, 117.0, 114.8, 114.9, 
           114.8, 114.2, 115.0, 114.0, 114.4, 116.1, 117.9, 115.7)
dopo <- c(110.9, 110.1, 110.3, 116.8, 112.2, 111.0, 111.1, 112.9, 
          110.6, 109.1, 113.1, 109.9, 111.9, 110.1, 114.2, 111.0)

Stabilire se la dieta è efficace, con una probabilità di errore P < 0.05. SUGGERIMENTO: ricordare che la l’effetto atteso della dieta, per le informazioni preliminari disponibili, può, eventualmente, essere solo quello di abbassare la pressione, mai quello di alzarla.

15.5.8 Esercizio 8

Uno sperimentatore ha impostato un esperimento per verificare l’effetto di un fungicida (A) in confronto al testimone non trattato (B), in base al numero di colonie fungine sopravvissute. Il numero delle colonie trattate è di 200, mentre il numero di quelle non trattate è di 100. Le risposte (frequenze) sono come segue:

Morte Sopravvissute
A 180 20
B 50 50

Stabilire se i risultati possono essere considerati significativamente diversi, per un livello di probabilità del 5%.

15.5.9 Esercizio 9

Immaginate di aver riscontrato che, in determinate condizioni ambientali, 60 olive su 75 sono attaccate da Daucus olee (mosca dell’olivo). Nelle stesse condizioni ambientali, diffondendo in campo un insetto predatore siamo riusciti a ridurre il numero di olive attaccate a 12 su 75. Si tratta di una oscillazione casuale del livello di attacco o possiamo concludere che l’insetto predatore è stato un mezzo efficace di lotta biologica alla mosca dell’olivo?

15.5.10 Esercizio 10

I Q.I. di 16 studenti provenienti da un quartiere di una certa città sono risultati pari a:

QI1 <- c(90.31, 112.63, 101.93, 121.47, 111.37, 100.37, 106.80,
         101.57, 113.25, 120.76,  88.58, 107.53, 102.62, 104.26,
         95.06, 104.88)

Gli studenti provenienti da un altro quartiere della stessa città hanno invece mostrato i seguenti Q.I.:

QI2 <- c(90.66, 101.41, 104.61,  91.77, 107.06,  89.51,  87.91,
         92.31, 112.96,  90.33,  99.86,  88.99,  98.97,  97.92)

Esiste una differenza significativa tra i Q.I. nei due quartieri della città?

15.5.11 Esercizio 11

Viene estratto un campione di rondelle da una macchina in perfette condizioni di funzionamento. Lo spessore delle rondelle misurate è:

S1 <- c(0.0451, 0.0511, 0.0478, 0.0477, 0.0458, 0.0509, 0.0446,
        0.0516, 0.0458, 0.0490)

Dopo alcuni giorni, per determinare se la macchina sia ancora a punto, viene estratto un campione di 10 rondelle, il cui spessore medio risulta:

S2 <- c(0.0502, 0.0528, 0.0492, 0.0556, 0.0501, 0.0500, 0.0498,
        0.0526, 0.0517, 0.0550)

Verificare se la macchina sia ancora ben tarata, oppure necessiti di revisione.

15.5.12 Esercizio 12

Le varianze di due campioni composti da 30 unità sono risultate pari, rispettivamente a 115.3 e 356.4; stabilire se il secondo campione ha una varianza significativamente più alta del primo. SUGGERIMENTO: considerare che il rapporto tra due varianze di campioni estratti dalla stessa popolazione gaussiana segue la distribuzione F di Fisher. Considerare anche che, in R, la funzione ‘pf(x, n1, n2)’ restituisce la probabilità di ottenere valori pari o superiori ad x, da una distribuzione F di Fisher con n1 ed n2 gradi di libertà. Considerare anche che il rapporto di due varianze può solo essere positivo.

pf(356.4/115.3, 29, 29, lower.tail = F)
## [1] 0.001648857

15.5.13 Esercizio 13

Sono stati osservati 153 calciatori registrando la dominanza della mano e quella del piede, ottenendo la tabella riportata qui di seguito.

piede.sx piede.dx
mano sx 26 11
mano dx 21 95

Esiste dipendenza tra la dominanza della mano e del piede?

15.5.14 Esercizio 14

Un agronomo ha organizzato un esperimento varietale, per confrontare tre varietà di frumento, cioè GUERCINO, ARNOVA e BOLOGNA. Per far questo ha individuato, in un campo uniforme dell’areale umbro, trenta parcelle da 18 m2 e ne ha selezionate dieci a caso, da coltivare con GUERCINO, altre dieci a caso sono state coltivate con ARNOVA e le ultime dieci sono state coltivate con BOLOGNA.

Al termine dell’esperimento, le produttività osservate erano le seguenti:

guercino arnova bologna
53.2 53.1 43.5
59.1 51.0 41.0
62.3 51.9 41.2
48.6 55.3 44.8
59.7 58.8 40.2
60.0 54.6 37.2
55.7 53.0 45.3
55.8 51.4 38.9
55.7 51.7 42.9
54.4 64.7 39.3
  1. Descrivere i tre campioni, utilizzando opportunamente un indicatore di tendenza centrale ed un indicatore di variabilità
  2. Inferire le medie delle tre popolazioni (cioè quelle che hanno generato i tre campioni), utilizzando opportunamente un intervallo di incertezza
  3. Per ognuna delle tre coppie (guercino vs arnova, guercino vs bologna, arnova vs bologna), valutare la differenza tra le medie e il suo errore standard. Valutare la significatività della differenza tra le medie delle tre popolazioni, esplicitando l’ipotesi nulla e calcolando il livello di probabilità di errore nel rifiuto dell’ipotesi nulla.

15.5.15 Esercizio 15

Un botanico ha valutato il numero di semi germinati per colza sottoposto a due diversi regimi termici dopo l’imbibizione (15 e 25°C). Per la temperatura più bassa, su 400 semi posti in prova, ne sono germinati 358. Alla temperatura più alta, su 380 semi in prova, ne sono germinati 286.

  1. Descrivere i due campioni, in termini di proporzione di semi germinati
  2. Inferire la proporzione di germinati nell’intera popolazione di semi da cui è stato estratto il nostro campione casuale di 780 semi. Utilizzare opportunamente un intervallo di incertezza, sapendo che la varianza di una proporzione è una quantità fissa, che si calcola come \(p ( 1- p)\) (dove ‘p’ è la proporzione osservata.
  3. Esiste una differenza significativa tra le proporzioni delle due popolazioni? Esplicitare l’ipotesi nulla e calcolare la probabilità di errore relativa al suo rifiuto.

15.6 Fitting di modelli nella sperimentazione agraria

Nelle sezioni seguenti riporteremo diversi datasets ottenuti da esperimenti nelle scienze agraria e che si prestano per il fitting di modelli statistici descrittivi di vario tipo. La stima dei parametri di questi modelli e il test d’ipotesi permettono di rispondere a semplici domande sui processi biologici coinvolti. Indipendentemente dal dataset, il processo di lavoro dovrà essere il seguente.

  1. Caricare i dati ed eseguire le eventuali trasformazioni che si rendano necessarie (ad es. le trasformazioni delle variabili numeriche in ‘factors’ oppure le trasformazioni stabilizzanti).
  2. Descrive i dati, calcolando almeno un indicatore di tendenza centrale (media) e un indicatore di variabilità (deviazione standard) come indicato nel Capitolo 3.
  3. Specificare il modello descrittivo più opportuno a stimarne i parametri con R.
  4. Controllare il fitting per il rispetto delle assunzioni di base. Se necessario, trasformare i dati e ripetere il fitting
  5. Testare la significanza di tutti gli effetti inclusi nel modello, attraverso l’ANOVA.
  6. Se necessario, confrontare le medie con un test di confronto multiplo
  7. Presentare i risultati e commentarli.

I dataset degli esempi che seguono sono riportati in un file Excel, che potete scaricare dal seguente link: https://www.casaonofri.it/_datasets/BookExercises.xlsx. Ogni dataset è su un diverso foglio di lavoro all’interno dello stesso file; il nome del foglio di lavoro è riportato in fondo ad ogni esercizio. Utilizzare la funzione ‘readxl()’ function, per la lettura del dataset.

Per facilitarvi la vita, alleghiamo una tabella che riassume i modelli descritti in questo libro ed utilizzabili per gli esercizi che seguono.

Tabella 15.1: Sommario dei principali modelli per descrivere i principali esperimenti nelle scienze agrarie
Modello Disegno.sperimentale Funzione.R Specifiche
ANOVA ad una via CRD lm() Y ~ F1
ANOVA ad una via CRBD lm() Y ~ F1 + BL
ANOVA a due vie CRD lm() Y ~ F1 * F2
ANOVA a due vie CRBD lm() Y ~ F1 * F2 + BL
ANOVA a due vie Split-plot CRD lmer() Y ~ F1 * F2 + (1|MAIN)
ANOVA a due vie Split-plot CRBD lmer() Y ~ F1 * F2 + BL + (1|MAIN)
ANOVA a due vie Strip-plot CRD lmer() Y ~ F1 * F2 + (1|ROW) + (1|COL)
ANOVA a due vie Strip-plot CRBD lmer() Y ~ F1 * F2 + BL + (1|ROW + (1|COL)
ANOVA ad una via ANOVA ad una via (CRD), due ambienti lm()/lmer() Y ~ F1 * ENV
ANOVA ad una via ANOVA ad una via (CRBD), due ambienti lm()/lmer() Y ~ F1 * ENV + BL|ENV
Regressione Lineare semplice CRD lm() Y ~ X1
Simple Linear Regression CRBD lm() Y ~ BL + X1

Nella tabella precedente, Y è la risposta, sempre rappresentata da una variabile continua, F1 ed F2 sono due fattori sperimentali (variabili nominali), X1 è una covariata (variabile continua), BL è la variabile che identifica i blocchi (variabile nominale), ENVè la variabile che identifica gli ambienti (variabile nominale) e MAIN, ROW, COL sono le variabili che identificano le main-plots nello split-plot e le righe/colonne nello strip-plot (variabili nominali).

15.7 Modelli ANOVA ad una via (Cap. da 7 a 9)

15.7.1 Esercizio 1

Un esperimento a randomizzazione completa relativo ad una prova varietale di frumento ha l’obiettivo di porre a confronto la produzione di 5 varietà. Le produzioni (in bushels per acre) osservate siano le seguenti:

Variety 1 2 3
A 32.4 34.3 37.3
B 20.2 27.5 25.9
C 29.2 27.8 30.2
D 12.8 12.3 14.8
E 21.7 24.5 23.4

Eseguire l’ANOVA, presentare i risultati e commentarli (esempio tratto da Le Clerg et al., 1962) [Sheet: 7.1]

15.7.2 Esercizio 2

Colture di tessuto di pomodoro sono state allevate su capsule Petri trattate con una diversa concentrazione di zuccheri, utilizzando cinque repliche. La crescita colturale è riportata in tabella

Control Glucose Fructose Sucrose
45 25 28 31
39 28 31 37
40 30 24 35
45 29 28 33
42 33 27 34

Calcolare le medie ed eseguire l’ANOVA. Eseguire i test di confronto multiplo. Commentare i risultati. [Sheet: 7.2]

15.7.3 Esercizio 3

E’stato impostato un test di durata su un impianto di riscaldamento, per verificare come la temperatura di esercizio influenza la durata del riscaldatore. Sono state testate 4 temperature, con sei repliche e, per ciascun riscaldatore, è stato rilevato il numero di ore prima della rottura. I risultati sono i seguenti:

Temp. Hours to failure
1520 1953
1520 2135
1520 2471
1520 4727
1520 6134
1520 6314
1620 1190
1620 1286
1620 1550
1620 2125
1620 2557
1620 2845
1660 651
1660 837
1660 848
1660 1038
1660 1361
1660 1543
1708 511
1708 651
1708 651
1708 652
1708 688
1708 729

Valutare se la temperatura di esercizio infleunza significativamente la durata del riscaldatore. Quale/i temperatura/e consentono la maggior durata? [Sheet: 7.3]

15.7.4 Esercizio 4

Un entomologo ha contato il numero di uova deposte da un lepidottero sulle foglie di tre varietà di tabacco, valutando 15 femmine per varietà. I risultati sono i seguenti:

Female Field Resistant USDA
1 211 0 448
2 276 9 906
3 415 143 28
4 787 1 277
5 18 26 634
6 118 127 48
7 1 161 369
8 151 294 137
9 0 0 29
10 253 348 522
11 61 0 319
12 0 14 242
13 275 21 261
14 0 0 566
15 153 218 734

Eseguite l’ANOVA. Quali sono le assunzioni necessarie per l’ANOVA? Sono rispettate? Vi sono outliers? Calcolate SEM e SED in modo attendibile. [Sheet: 7.4]

15.8 ANOVA a due vie (Cap. 10)

15.8.1 Esercizio 1

E’ stato impostanto un esperimento a blocchi randomizzati per confrontare sei tipi di irrigazione, in un aranceto della Spagna. I risultati sono i seguenti (in pounds per parcella):

Metodo 1 2 3 4 5
Goccia 438 413 375 127 320
Conche 413 398 348 112 297
Aspersione 346 334 281 43 231
Aspersione+goccia 335 321 267 33 219
Sommersione 403 380 336 101 293

Eseguire l’ANOVA. Quali sono le assunzioni necessarie per l’ANOVA? Sono rispettate? Calcolate SEM e SED ed eseguite il confronto multiplo. Qual è il metodo di irrigazione migliore? [Sheet: 10.1]

15.8.2 Esercizio 2

E’ stato impostato un esperimento di fertilizzazione secondo uno schema a blocchi randomizzati. I dati ottenuti sono i contenuti percentuali (moltiplicati per 100) in fosforo, in un campione di tessuti vegetali prelevato per parcella:

Trattamento 1 2 3 4 5
Non fertilizzato 5.6 6.1 5.3 5.9 7.4
50 lb N 7.3 NA 7.7 7.7 7.0
100 lb N 6.9 6 5.6 7.4 8.2
50 lb N + 75 lb P2O5 10.8 11.2 8.8 12.9 10.4
100 lb N + 75 lb P205 9.6 9.3 12 10.6 11.6

Eseguire l’ANOVA, considerando il dato mancante. Calcolare SEM e SED. Qual è il trattamento migliore? Aumentare il dosaggio di N senza P2 O5 è conveniente? E in presenza di P2 O5? [Sheet: 10.2]

15.8.3 Esercizio 3

È stato condotto un esperimento a quadrato latino per valutare l’effetto di quattro diversi metodi di fertilizzazione. Sono stati osservati i seguenti risultati:

Fertiliser Row Column Yield
A 1 1 104
B 1 2 114
C 1 3 90
D 1 4 140
A 2 4 134
B 2 3 130
C 2 1 144
D 2 2 174
A 3 3 146
B 3 4 142
C 3 2 152
D 3 1 156
A 4 2 147
B 4 1 160
C 4 4 160
D 4 3 163

Analizzate i dati e commentate i risultati ottenuti [Sheet: 10.3]

15.9 Regressione (Cap. 11)

Quando la variabile indipendente è continua, potremmo essere interessati a valutare l’esistenza di una possibile relazione funzionale tra la X e la Y (curva dose-risposta). La relazione più semplice è la ‘retta’ \(Y = b_0 + b_1 \, X\); il fitting di questo modello implica la stima di \(b_0\) (intercetta) e \(b_1\) (pendenza), in modo che la retta stimata sia quella che passa ‘più vicina’ possibile ai dati osservati. Quando facciamo il fitting di un modello come questo, lo schema di lavoro presentato all’inizio di questo capitolo cambia, nel senso che, oltre agli usuali controlli sull’omogeneità delle varianze e sulla normalità dei residui, dobbiamo anche controllare la bontà di adattamento. Ciò può essere fatto attraverso un grafico nel quale vengano contemporaneamente mostrati i valori osservati e quelli predetti dal modello, con il codice seguente:

model <- lm(Y ~ X1, data = dataset) # fitting del modello
summary(model) # stima dei parametri
b0 <- 10 # valore dell'intercetta, ottenuto più sopra
b1 <- 0.5 # valore della pendenza ottenuto più sopra
plot(Y ~ X1, data = dataset) # grafico dei dati osservati
curve(B0 + B1 * x, add = T) # retta stimata; 'x' deve essere scritto così come è, in lettera piccola

Ovviamente, nel caso della regressione lineare non dobbiamo eseguire il test di confronto multiplo: se la risposta giace su una retta ogni valore del predittore X produce una risposta diversa dall’altro.

I modelli di regressione possono essere adattati anche a dati da prove non replicate. Se però abbiamo le repliche, allora ci sono due possibili modelli: un modello ANOVA, nel quale la variabile X viene trasformata in una variabile nominale ed un modello di regressione, nel quale la variabile X resta numerica. Il primo modello è certamente più vicino ai dati (più basso residuo) perché non pone alcun vincolo sulla forma della risposta, mentre il secondo modello è più semplice (meno parametri da stimare), ma meno preciso, perché impone che le risposte siano allineate a carattterizzate da una crescita/decrescita monotona. Possiamo confrontare i due modelli per valutare se il fitting è altrettanto buono con il codice che segue.

anova(model1, model2)

Se il P-level è maggiore di 0.05 posso accettare la nulla, concludere che i due modelli sono ugualmente buoni e, di conseguenza, scegliere quello più semplice, seguendo il principio del rasio di Occam. Ciò equivale a dire che il modello di regressione non ha alcuna mancanza di adattamento ai dati osservati.

Quando gli esperimenti sono replicati abbiamo però una difficoltà aggiuntiva, nel senso che il codice sottostante:

model <- lm(Y ~ BL + X1, data = dataset) # fits the model
summary(model)

produce una sola pendenza e tante intercette quanti sono i blocchi. Per trovare l’intercetta media posso utilizzare la usuale funzione ‘emmeans()’, come indicato più sotto (X1 è da sostituire col nome della variabile indipendente).

emmeans(model, ~1, at = list(X1 = 0))

15.9.1 Esercizio 1

È stato condotto uno studio per verificare l’effetto della concimazione azotata (in kg/ha) sulla produzione (in quintali per ettaro) della lattuga, utilizzando uno schema a blocchi randomizzati. I risultati sono i seguenti:

N level B1 B2 B3 B4
0 124 114 109 124
50 134 120 114 134
100 146 132 122 146
150 157 150 140 163
200 163 156 156 171

Analizzare i dati, adattare un modello di regressione, verificarne la bontà di adattamento e commentare i risultati [Sheet: 11.1]

15.9.2 Esercizio 2

Per valutare la soglia economica d’intervento, è necessario definire la relazione tra la densità di una pianta infestante (Sinapis arvensis) e la produzione della coltura. Ipotizziamo che, nel range di densità osservato, il modello di competizione sia una retta. Per parametrizzare questo modello e verificarne la validità, è stato organizzato un esperimento a blocchi randomizzati, dove sono stati inclusi sette diversi livelli di infestazione di Sinapis arvensis , (in piante per metro quadrato) ed è stata rilevata la produzione di acheni del girasole (in quintali per ettaro). I risultati sono:

density Block Yield
0 1 36.63
14 1 29.73
19 1 32.12
28 1 30.61
32 1 27.7
38 1 27.43
54 1 24.79
0 2 36.11
14 2 34.72
19 2 30.12
28 2 30.8
32 2 26.53
38 2 27.6
54 2 23.31
0 3 38.35
14 3 32.16
19 3 31.72
28 3 28.69
32 3 25.88
38 3 28.43
54 3 30.26
0 4 36.74
14 4 32.566
19 4 29.57
28 4 33.663
32 4 28.751
38 4 27.114
54 4 24.664

Eseguire l’ANOVA e verificare il rispetto delle assunzioni di base. E’corretto eseguire un test di confronto multiplo e perchè? Eseguire l’analisi di regressione lineare, verificando la bontà di adattamento del modello. Definire il modello parametrizzato. Stabilire la soglia d’intervento, ipotizzando il costo del prodotto e dell’intervento diserbante. [Sheet: 11.2]

15.10 ANOVA a due vie con interazione (Cap. 12 e 13)

Alcuni dei dataset che seguono sono stati ottenuti da esperimenti a split-plot. Se non avete letto il Capitolo 13, potete anlizzare questi dataset facendo attenzione a quanto segue.

Per i disegni a split-plot e a strip-plot, invece delione ‘lm()’, dobbiamo utilizzare la funzione ‘lmer()’ che necessita dell’istallazione dei packages ‘lme4’ e ‘lmerTest’. Prima del fitting, dobbiamo identificare in modo univoco le main-plots (per i disegni a split-plot) e le righe/colonne (per i disegni a strip-plot). Le main-plots possono essere identificate incrociando la variabile del fattore principale con i blocchi, come indicato più sotto per la variabile ‘Tillage’ nel dataframe ‘dataset’:

dataset$mainPlot <- with(dataset, factor(Block:Tillage))

Analogamente per un disgno a strip-plot, possiamo operare come segue:

dataset$Rows <- factor(dataset$Crop:dataset$Block)
dataset$Columns <- factor(dataset$Herbicide:dataset$Block)

Il codice per il fitting è riportato nella tabella sovrastante. L’uso del metodo plot() applicato al risultato del fitting restituisce solo il grafico dei residui verso i valori attesi e quindi il controllo dell’assunzione di normalità può essere evitato, per semplicità. L’esigenza di eventuali trasformazioni stabilizzanti potrà essere valutata facendo un fitting preliminare di un modello lineare nel quale vengano trascurati i fattori di blocco (main-plot, righe e colonne).

15.10.1 Esercizio 1

La biologia di Sorghum halepense da rizoma mostra che il peso dei rizomi raggiunge un minimo intorno alla quarta foglia. Di conseguenza, eseguire un trattamento in quest’epoca dovrebbe minimizzare le possibilità di ripresa degli individui trattati, portando anche ad un certo risanamento del terreno. Tuttavia, ci si attende che gli effetti siano maggiori quando le piante provengono da rizomi più piccoli, con un minor contenuto di sostanze di riserva. Per affrontare questi argomenti è stata organizzata una prova in vaso, secondo un disegno a randomizzazione completa con quattro repliche. I risultati sono i seguenti:

Sizes / Timings 2-3 4-5 6-7 8-9 3-4/8-9 Untreated
2-nodes 34.03 0.10 30.91 33.21 2.89 41.63
22.31 6.08 35.34 43.44 19.06 22.96
21.70 3.73 24.23 44.06 0.10 52.14
14.90 9.15 28.27 35.34 0.68 59.81
4-nodes 42.19 14.86 52.34 39.06 8.62 68.15
51.06 36.03 43.17 61.59 0.05 42.75
43.77 21.85 57.28 48.89 0.10 57.77
31.74 8.71 29.71 49.14 9.65 44.85
6-nodes 20.84 11.37 55.00 41.77 9.80 43.20
26.12 2.24 28.46 37.38 0.10 40.68
35.24 14.17 21.81 39.55 1.42 34.11
13.32 23.93 60.72 48.37 6.83 32.21

Eseguite l’ANOVA. Verificate il rispetto delle assunzioni parametriche di base e, se necessario, trasformate i dati. Preparate una tabella per le medie marginali e le medie di cella ed aggiungete i rispettivi errori standard (SEMs). Ha senso considerare le medie marginali? Impostate un test di confronto multiplo per gli effetti significativi, coerentemente con la risposta alla domanda precedente. [Sheet: 12-13.1]

15.10.2 Esercizio 2

Un agronomo ha organizzato un confronto varietale in favino, considerando due epoche di semina: autunnale e primaverile. E’ stato utilizzato un disegno a blocchi randomizzati e a parcella suddivisa, con le epoche di semina nelle parcelle principali e le varietà nelle sub-parcelle. I risultati sono i seguenti:

Sowing Time Genotype 1 2 3 4
Autum Chiaro 4.36 4.00 4.23 3.83
Collameno 3.01 3.32 3.27 3.40
Palombino 3.85 3.85 3.68 3.98
Scuro 4.97 3.98 4.39 4.14
Sicania 4.38 4.01 3.94 2.99
Vesuvio 3.94 4.47 3.93 4.21
Spring Chiaro 2.76 2.64 2.25 2.38
Collameno 2.50 1.79 1.57 1.77
Palombino 2.24 2.21 2.50 2.05
Scuro 3.45 2.94 3.12 2.69
Sicania 3.24 3.60 3.16 3.08
Vesuvio 2.34 2.44 1.71 2.00

Eseguite l’ANOVA. Verificate il rispetto delle assunzioni parametriche di base e, se necessario, trasformate i dati. Preparate una tabella per le medie marginali e le medie di cella ed aggiungete i rispettivi errori standard (SEMs). Ha senso considerare le medie marginali? Impostate un test di confronto multiplo per gli effetti significativi, coerentemente con la risposta alla domanda precedente. [Sheet: 12-13.2]

15.10.3 Esercizio 3

Gli erbicidi mostrano sempre un certo grado di persistenza nel terreno. Di conseguenza, se la coltura fallisce subito dopo il diserbo, la scelta delle colture di sostituzione può essere condizionata dal diserbo già eseguito. Per questo motivo, è stato impostato un esperimento di pieno campo volto a valutare se tre erbicidi del mais (rimsulfuron, imazethapyr and primisulfuron) erano in grado di danneggiare quattro colture (soia, girasole, rapa e sorgo) seminate 20 giorni dopo il trattamento. Gli erbicidi sono stati distribuiti su terreno nudo, seguendo un disegno a blocchi randomizzati, su parcelle di elevate dimensioni. Per ogni blocco, la semina è stata eseguita su strisce trasversali, perpendicolari ai trattamenti eseguiti (schema a strip-plot). I risultati sono i seguenti:

Herbidicide Block sorghum rape soyabean sunflower
Untreated 1 180 157 199 201
2 236 111 257 358
3 287 217 346 435
4 350 170 211 327
Imazethapyr 1 47 10 193 51
2 43 1 113 4
3 0 20 187 13
4 3 21 122 15
primisulfuron 1 271 8 335 379
2 182 0 201 201
3 283 22 206 307
4 147 24 240 337
rimsulfuron 1 403 238 226 290
2 227 169 195 494
3 400 364 257 397
4 171 134 137 180

Eseguite l’ANOVA. Verificate il rispetto delle assunzioni parametriche di base e, se necessario, trasformate i dati. Preparate una tabella per le medie marginali e le medie di cella ed aggiungete i rispettivi errori standard (SEMs). Ha senso considerare le medie marginali? Impostate un test di confronto multiplo per gli effetti significativi, coerentemente con la risposta alla domanda precedente. [Sheet: 12-13.3]

15.10.4 Esercizio 4

E’ stato condotto un esperimento parcellare per valutare l’interazione tra il momento dell’applicazione dell’azoto al terreno (early, optimum, late) e due livelli di un inibitore della nitrificazione (none, 5 lb/acre). L’inibitore ritarda la nitrificazione e riduce le perdite per lisciviazione profonda. L’azoto è stato somministrato in forma marcata (\(^{15}\)N) e i dati raccolti riguardano la percentuale di azoto assorbito dalla pianta.

Genotype Block Early Med Late
A 1 21.4 50.8 53.2
2 11.3 42.7 44.8
3 34.9 61.8 57.8
B 1 54.8 56.9 57.7
2 47.9 46.8 54.0
3 40.1 57.9 62.0

Analizzare i dati e commentare i risultati [Sheet: 12-13.4]

15.10.5 Esercizio 5

E’ stato organizzato un esperimento per valutare l’effetto della temperatura di lavaggio sulla riduzione di lunghezza di alcuni tessuti. I risultati sono espressi in percentuale di riduzione e sono stati ottenuti in un disegno sperimentale a randomizzazione completa, con quattro tessuti e altrettante temperature.

Fabric 210 °F 215 °F 220 °F 225 °F
A 1.8 2.0 4.6 7.5
2.1 2.1 5.0 7.9
B 2.2 4.2 5.4 9.8
2.4 4.0 5.6 9.2
C 2.8 4.4 8.7 13.2
3.2 4.8 8.4 13.0
D 3.2 3.3 5.7 10.9
3.6 3.5 5.8 11.1

Analizzare i dati e commentare i risultati [Sheet: 12-13.5]

15.10.6 Esercizio 6

Un processo di sintesi chimica prevede due reazioni, la prima richiede un alcool e la seconda richiede una base. Viene impostato un esperimento fattoriale 3 x 2, con tre alcools e due basi, con uno schema sperimentale completamente randomizzato a quattro repliche. Quali sono le vostre raccomandazioni per la prima e la seconda reazione, sulla base dei risultati dell’esperimento. La variabile rilevata mostra la produzione percentuale del processo.

Base Alcohol 1 Alcohol 2 Alcohol 3
A 91.3 89.9 89.3
88.1 89.5 87.6
90.7 91.4 90.4
91.4 88.3 90.3
B 87.3 89.4 92.3
91.5 93.1 90.7
91.5 88.3 90.6
94.7 91.5 89.8

Analizzare i dati e commentare i risultati [Sheet: 12-13.6]

15.11 Regressione non-lineare (Cap. 14)

15.11.1 Esercizio 1

Due campioni di terreno sono stati trattati con due erbicidi diversi e sono stati posti in cella climatica alle medesime condizioni di temperatura ed umidità. In tempi diversi dopo l’inizio dell’esperimento sono state prelevate aliquote di ciascun terreno e ne è stata determinata la concentrazione residua di erbicida. I risultati ottenuti sono i seguenti:

Time Herbicide A Herbicide B
0 100.00 100.00
10 50.00 60.00
20 25.00 40.00
30 15.00 23.00
40 7.00 19.00
50 3.50 11.00
60 2.00 5.10
70 1.00 3.00

Ipotizzando che la degradazione dei due erbicidi segue una cinetica di decadimento esponenziale del primo ordine (vale a dire: \(y = a \exp \left\{ - bx \right\}\)), parametrizzare la relativa equazione e determinare la semivita dei due erbicidi. Quale sostanza degrada più velocemente? [Sheet: 14.1]

15.11.2 Esercizio 2

Un popolazione microbica in condizioni non-limitanti di substrato cresce seguendo un ritmo esponenziale. Un esperimento da i seguenti risultati:

Time Cells
0 2
10 3
20 5
30 9
40 17
50 39
60 94
70 201

Parametrizzare un modello di crescita esponenziale e valutarne la bontà di adattamento. [Sheet: 14.2]

15.11.3 Esercizio 3

E’ stato organizzato un esperimento per valutare il tasso di assorbimento radicale di azoto da parte di Lemna minor allevata in coltura idroponica. I risultati medi ottenuti sono i seguenti:

conc rate
2.86 14.58
5.00 24.74
7.52 31.34
22.10 72.97
27.77 77.50
39.20 96.09
45.48 96.97
203.78 108.88

Parametrizzare il modello iperbolico di Michaelis-Menten:

\[y = \frac{a x} {b + x}\]

Valutarne la bontà di adattamento. [Sheet: 14.3]

15.11.4 Esercizio 4

E’ stato organizzato un esperimento di competizione per valutare l’effetto di densità crescenti di Ammi majus sulla produttività del girasole. I risultati ottenuti sono i seguenti:

Weed density Yield
0 3.52
23 2.89
31 2.76
39 2.75
61 2.48

Parametrizzare l’iperbole di Cousens:

\[Y_W = Y_{WF} \left( 1 - \frac{i \cdot x}{100\left( 1 + \frac{i \cdot x}{a} \right)} \right)\]

Valutarne la bontà di adattamento. Determinare la soglia economica di intervento. [Sheet: 14.4]

15.11.5 Esercizio 5

Uno degli aspetti fondamentali degli studi relativi alla diversità degli ambienti è la valutazione delle curve area-specie. E’ stato considerato un aranceto siciliano, del quale è stata valutata con un apposito campionamento ‘innestato’ la curva area-specie.

Area numSpecie
1 4
2 5
4 7
8 8
16 10
32 14
64 19
128 22
256 22

Parametrizzare una curva ‘di potenza’ (power curve):

\[y = a \cdot x^b\]

Valutarne la bontà di adattamento. Determinare l’area minima di campionamento. [Sheet: 14.5]

15.11.6 Esercizio 6

Si ritiene che la crescita di una coltura possa essere descritta accuratamente con un’equazione di Gompertz. Si ritiene inoltre che la presenza delle piante infestanti possa modificare la crescita della coltura, alterando i valori dei parametri del modello anzidetto. Per questo motivo viene organizzato un esperimento a randomizzazione completa con tre repliche, 6 tempi di prelievo (DAE) e 2 stati di infestazione (infestato e libero). In ogni tempo di prelievo, le tre repliche vengono raccolte e viene determinato il peso della coltura. I risultati ottenuti sono i seguenti:

DAE Infested Weed Free
21 0.06 0.07
21 0.06 0.07
21 0.11 0.07
27 0.20 0.34
27 0.20 0.40
27 0.21 0.25
38 2.13 2.32
38 3.03 1.72
38 1.27 1.22
49 6.13 11.78
49 5.76 13.62
49 7.78 12.15
65 17.05 33.11
65 22.48 24.96
65 12.66 34.66
186 21.51 38.83
186 26.26 27.84
186 27.68 37.72

Parametrizzare il modello di Gompertz:

\[y = a \cdot exp(-b \cdot exp(-c \cdot x))\]

e verificarne la bontà di adattamento nelle due situazioni. Quali parametri del modello di Gompertz sono maggiormente influenzati dalle piante infestanti? Abbiamo elementi per ritenere che la crescita segua un’equazione di Gompertz piuttosto che una logistica simmetrica? [Sheet: 14.6]

15.11.7 Esercizio 7

Piante di Tripleuspermum inodorum in vaso sono state trattate con erbicida sulfonilureico (tribenuron-methyl) a dosi crescenti. Tre settimano deopo il trattamento è stato registrato il peso delle piante sopravvissute, ottenendo i risulti riportati nella tabella seguente:

Dose (g/ha) Fresh weight (g/pot)
0 115.83
0 102.90
0 114.35
0.25 91.60
0.25 103.23
0.25 133.97
0.5 98.66
0.5 92.51
0.5 124.19
1 93.92
1 49.21
1 49.24
2 21.85
2 23.77
2 22.46

Si ipotizza che la relazione dose-effetto possa essere descritta con un modello log-logistico:

\[y = c + \frac{d - c}{1 + exp(b ( log (x) - log (a))}\]

Parametrizzare questo modello e verificarne la bontà d’adattamento. [Sheet: 14.7]